Parallelenaxiom

Das Parallelenaxiom ist ein viel diskutiertes Axiom der euklidischen Geometrie. In einer häufig gebrauchten, auf John Playfair zurückgehenden Formulierung besagt es:

„Parallel“ bedeutet dabei, dass die Geraden in einer Ebene liegen, aber keinen gemeinsamen Punkt haben.

Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu ${\displaystyle g}$ durch den Punkt ${\displaystyle P}$.

In den Elementen des Euklid findet sich dieser Satz als das fünfte Postulat (Parallelenpostulat) in folgender Formulierung: „Gefordert soll sein: … dass, wenn eine gerade Linie [${\displaystyle g}$] beim Schnitt mit zwei geraden Linien [${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle k}$] bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel [${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$] zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien [${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle k}$] bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite [von ${\displaystyle g}$], auf der die Winkel [${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$] liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.“

Dies besagt in moderner Formulierung, dass es zu jeder Geraden ${\displaystyle g}$ und jedem Punkt ${\displaystyle P}$ nicht mehr als eine Parallele zu ${\displaystyle g}$ durch ${\displaystyle P}$ geben kann. Dass es mindestens eine solche Parallele gibt, lässt sich aber aus den übrigen Postulaten und Axiomen des Euklid beweisen, sodass die eingangs angegebene Formulierung gerechtfertigt ist.

Die Benennung des Parallelenpostulats schwankt in der Literatur. Häufig wird es das Fünfte Postulat von Euklid (Elemente, Buch 1) genannt, manchmal wurde es aber auch 11. Axiom oder 13. Axiom genannt.^[1]

1. ↑ Stäckel und Engel (1896), S. 21. Im dort wiedergegebenen Text von John Wallis von 1663. Auch Janos Bolyai nennt es in seinem Hauptwerk, dem Anhang zum Tentamen seines Vaters, das 11. Axiom.